Особо важную роль в формировании и развитии пространственных представлений играют стереометрические задачи на построение.

Задачи на построение в пространстве решаются двумя принципиально различными методами: в воображении и на проекционном чертеже.

В процессе решения задач на построение в воображении устанавливается лишь факт существования решения, само же построение искомого элемента не выполняется. Решение задачи сводится к перечислению такой совокупности геометрических операций, фактическое выполнение которых приводит к построению искомого элемента. Рисунок, который сопровождает воображение (условные) построения, носит исключительный иллюстративный характер.

При решении задач на построение на проекционном чертеже с помощью определенного набора инструментов (обычно, как и в планиметрии, это циркуль и линейка) явно выполняется точная последовательность построений, приводящая к искомому элементу.

Специфика задач на построение в пространстве состоит в том, что не существует чертежных инструментов, позволяющих чертить геометрические фигуры непосредственно в пространстве. Пространственные фигуры изображаются плоским рисунком, а значит, такой рисунок во многом является условным: линейные и условные размеры на нем искажаются.

В школьном курсе стереометрии учащимся предлагаются задачи как на воображаемые представления, так и построения на проекционном чертеже.

Приведем требования к учащимся старшей школы, которые предъявляются государственным стандартом по математическому образованию к знаниям, умениям и навыкам по теме: «Задачи на построение в пространстве» [19].

I. Тема: «Точка и прямая в плоскости».

Выпускник должен уметь:

1. Изображать на рисунке точки, прямые и плоскости в заданном взаимном построении.

2. Задавать плоскость с помощью трех точек, точки и прямой, пересекающихся или параллельных прямых и изображать их на рисунке.

II. Тема: «Взаимное расположение прямых в пространстве».

Выпускник должен уметь правильно изображать на рисунках пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.

III. Тема: «Взаимное расположение прямой и плоскости».

Выпускник должен уметь правильно изображать на рисунках пересечение прямой и плоскости, параллельность прямой и плоскости.

IV. Тема: «Взаимное расположение плоскостей».

Примеры:

а) Начертите призму АВСДА1В1С1Д1, основанием которой является трапеция АВСД (ВС||АД). Какие грани этой призмы расположены: в параллельных плоскостях; в пересекающихся плоскостях? Постройте линию пересечения этих граней.

V. Тема: «Двугранный угол и его измерение».

Выпускник должен уметь задавать линейный угол двугранного угла и изображать его на рисунке.

VI. Тема: «Многогранники и их элементы».

Выпускник должен уметь:

1. Изображать на рисунках треугольные и четырехугольные призмы и пирамиды и их элементы.

2. Изображать на рисунках сечения треугольных и четырехугольных призм плоскостями, проходящими через ребра.

3. Изображать на рисунках сечения треугольных и четырехугольных пирамид плоскостями, проходящими через вершины пирамид.

4. В не сложных случаях изображать на рисунках треугольных и четырехугольных пирамид высоту пирамиды, связывая ее с другими линейными элементами на основе соответствующих свойств.

VII. Тема: «Цилиндр и конус».

Выпускник должен уметь: изображать осевые сечения цилиндра и конуса, выделяя их линейные элементы.

VIII. Тема: «Сфера и шар».

Выпускник должен уметь: изображать сечения шара плоскостями, выделяя в них соответствующие линейные элементы.

В школьном курсе стереометрии основными задачами на построение являются задачи на построение сечений пространственных фигур, а для этого необходимо научиться изображать эти фигуры.

Существуют различные методы изображения пространственных фигур на плоскости, но практика обучения геометрии в школе показывает, что целесообразным является метод параллельного проецирования (он осуществляется проектированием всех параллельных прямых). Проекционное изображение фигуры в таком случае можно получить не непосредственным проецированием этой фигуры, а выполняя построения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования.