Третий метод решения задач имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы и т. д.

Математическое моделирование находит применение при решении многих текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в задаче, и др.).

Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных значений искомых величин.

Все графические приемы решения задач на вычисление дают приближенные решения. Но приближенные решения могут получаться и с помощью численных методов (например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней).

В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление угла на равные части и т. д.

Пример:

Объем конуса в два раза больше объема вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение: Построим схематическую запись задачи - модель конуса. Для этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Так как боковая сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота треугольника есть ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания конуса, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания.

Дано:

АВМ - осевое сечение конуса

АМ = ВМ, МК^АВ.

W(О,ОК) – осевое сечение шара

= 2

Найти: угол МАК - ?

Полученная наглядная модель облегчает поиск плана решения задачи. Далее по известным формулам найдем объем конуса и шара.

VK=1/3•АК2•МК ; Vш=4/3π•ОК3

По условию имеем VK : Vш=1/3•АК2•МК : 4/3π•ОК3. Отсюда можно перейти к следующему равенству: АК2•МК : 4π•ОК3 = 2 (1)

Выразим все отрезки входящие в равенство (1) через угол МАК = х и отрезок АК=у.

Из ∆АМК находим МК = АК•tg(МАК) = y•tg(x) (2)

Из ∆АОК находим ОК = АК•tg(AOK)

Очевидно, ОА есть биссектриса угла МАК, поэтому

ОК = y•tg(x/2) (3)

Подставим найденные выражения из (2),(3) в (1).

У2•У•tg(x) : 4•(y•tg(x))3 = 2 получаем tg(x) = 8•tg3(x/2)

Это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при условии, что 0O < Х < 90О. Решив уравнение при этом условии, получим ответ задачи.