Весьма часто в начальной школе, даже когда определение или правило сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а на нечто совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения на 2 во всех рассмотренных учебниках показан способ ее построения. В учебнике М.И. Моро это сделано так:

При таком способе работы дети очень быстро подметят закономерность получающегося числового ряда.

Уже после 3–4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут записывать результат, основываясь на подмеченной закономерности. Таким образом, способ конструирования таблицы умножения не станет предметом их сознания, результатом чего будет являться непрочное ее усвоение.

При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведет к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школе. Но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что "размывается" само понятие. Например, в методике математики для 1–3-х классов М.И. Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению. В результате деление усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.

При обучении математике в начальной школе нигде не идет речь о доказательстве каких-либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причем сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом, например, могут служить правила деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры – работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использование букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с буквами. Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон.

Говоря о недостатках обучения математике в начальной школе, мешающих дальнейшему обучению, необходимо особо подчеркнуть тот факт, что зачастую материал в учебниках изложен без взгляда на то, как он будет работать в дальнейшем. Очень ярким примером этого является организация усвоения умножения на 10, 100, 1000 и т.д. Во всех рассмотренных учебниках изложение этого материала построено так, что оно неизбежно приводит к формированию в сознании детей правила: "Чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т.д., нужно справа к нему приписать столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д." Это правило является одним из тех, которые очень хорошо усваиваются в начальной школе. И это приводит к большому числу ошибок при умножении десятичных дробей на целые разрядные единицы. Даже запомнив новое правило, дети часто автоматически при умножении на 10 приписывают к десятичной дроби справа нуль. Кроме того, следует отметить, что и при умножении натурального числа, и при умножении десятичной дроби на целые разрядные единицы, по сути дела, происходит одно и то же: каждая цифра числа сдвигается вправо на соответствующее количество разрядов. Поэтому нет смысла учить детей двум отдельным и совершенно формальным правилам. Гораздо полезнее научить их общему способу действий при решении подобных заданий.