Мы исходим из того, что несмотря на ошибочные гипотезы, которые можно получить в результате наблюдений и неполной индукции, учитель должен использовать все предоставляемые ему программой и учебниками (в том числе и ранее действующими, и пробными, экспериментальными) возможности, чтобы развить у учащихся навыки творческого мышления. С этой целью, например, можно предложить учащимся следующую задачу: «Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?» (18, №1168).

Иногда для развития навыков креативного мышления нужно несколько изменять условия задач, встречающихся в школьных и других учебниках.

Перед решением задачи «Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11» (18, № 949) целесообразно для математического развития учащихся предложить им установить (с помощью индукции), каким свойством обладает рассматриваемая разность (делиться на 9, 11, 99), и только после этого доказать подмеченную на частных примерах закономерность в общем виде.

Задача «Докажите, что для того, чтобы найти квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 и имеющего п десятков достаточно число десятков п умножить на п + 1 и к результату приписать 25» (21, № 969) безусловно имеет определенную познавательную ценность: учащиеся знакомятся с правилом возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Но роль этой задачи возрастет, если ее сформулировать так: «Найдите и обоснуйте правило возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на цифрой 5».

Полезно предложить учащимся VII класса самим установить с помощью наблюдений и индукции следующие формулы для подсчета сумм:

1 + 3 + 5 + … + (2п – 1) = п2,

13 + 23 + 33 + … + п3 = (1 + 2 + 3 + … + п)2.

Учащиеся, не знакомые с методом математический индукции, используемым для доказательства этих формул, именно с помощью такого рода задач поймут необходимость изучения этого метода в дальнейшем.

Мы исходим из того, что необходимо на уроках систематически использовать задачи, способствующие целенаправленному развитию творческого мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности.

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

Эвристическая задача - лучший способ мгновенно возбудить внимание и учебный интерес, приблизить возможность открытия. Эвристические задачи могут быть предложены как для классной, так и для домашней работы, причем ученик должен иметь право выбора любого варианта задания. Большинство наших эвристических задач построены на статистических данных Беларуси и других стран, что способствует не только развитию эвристического мышления, но и расширяет кругозор детей и стимулирует их к самостоятельной познавательной деятельности.

Весьма интересна с точки зрения применения эвристического метода в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к математике" [17]. "Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет дойти до всего". Эта "дерзость ума", по словам Сойера, особенно сильно проявляется у детей.

"Если вы, например, преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, - говорит Сойер, - и рассказываете, что никто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никто не решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение - того же рода, что попытка представить "корень из двух" в виде рациональной дроби p/q .Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнением до полного куба. Вот это желание исследовать является отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми он уже овладел, и всегда стремится к новым знаниям".