применением уравнений данного класса к решению текстовых задач.

2.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

С помощью линейных уравнений с одним неизвестным можно решать многочисленные .задачи, в которых либо имеется только одно неизвестное, либо среди неизвестных можно указать одно «ведущее», через которое выражаются остальные. Но многие ситуации описываются несколькими параметрами, вообще говоря, равноправными друг другу; эти ситуации требуют разработки новых алгебраических средств их изучения. В качестве одного из таких средств в курсе алгебры выступает класс систем двух линейных уравнений, с двумя неизвестными.

Приведенное рассуждение может быть положено в основу методики изучения указанного класса. Такой способ введения подчеркивает прикладную значимость уравнений с двумя неизвестными, однако изучение этого класса требует введения обширной совокупности формальных понятий и методов, поэтому отмеченная схема изложения, в которой проводится содержательная мотивировка данного класса, не единственный способ изложения этого материала.

Изложение темы можно начать с рассмотрения понятий, входящих в качестве компонентов в понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными; их соединение формирует представление о данном классе. Эти компоненты таковы: представление о конъюнкции логических условий, которое формализуется в понятии системы уравнений; представление о наличии в составе логического условия двух переменных, представление о линейном уравнении с двумя неизвестными, непосредственно связанное с данным классом систем.

Рассмотрим эти компоненты подробнее. Полезность изучения понятия уравнения с двумя неизвестными перед введением понятия о системе уравнений заключается в том, что при этом могут быть рассмотрены два важных в дальнейшем вопроса: выражение одного из неизвестных через другое (это преобразование используется при изучении метода подстановки) и введение понятия графика уравнения с двумя неизвестными.

Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при изучении этой темы, является представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит не число, а упорядоченная пара чисел. Вторым представлением, резко расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решений уравнения с двумя неизвестными, как правило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости — некоторая линия.

Изучение этой темы может рассматриваться как определенный мостик, связывающий понятие функции и понятие уравнения с двумя неизвестными: с одной стороны, уравнение с двумя неизвестными, в котором одно из них выражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой — оказывается, что один и тот же геометрический образ является и графиком уравнения, и графиком функции. Эти первые представления в дальнейшем подвергаются неоднократному уточнению и переосмысливанию, но уже и в таком несовершенном виде они с успехом используются при изучении систем уравнений.

Тема «Уравнение с двумя неизвестными» в случае наличия ее в курсе изучается недолго. Цель ее изучения состоит скорее во введении новых представлений, чем в развитии навыков.

Непосредственно за ней или на ее месте рассматривается тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Этот класс изучается детальнее. Здесь необходимо приобрести навыки перехода от линейного уравнения ах+bу=с к уравнению y=kx+b или x=k1y+b1. Кроме того, требуется усвоить факт: график линейного уравнения ах + bу= с, где а¹0 или b¹0, есть прямая линия, а также научиться строить график конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными.

Непосредственно перед изучением систем линейных уравнений может быть введено понятие о системе уравнений с двумя неизвестными. Но здесь необходимы некоторые уточнения. Понятие системы уравнений в курсе школьной математики строго определено быть не может из-за отсутствия в нем понятия конъюнкции. Однако для развития теории уравнений достаточно оказывается формировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредством указания на цель — нахождение общих решений, двух данных уравнений. Заметим, что общее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить. Общее понятие формируется постепенно на основе своего ведущего частного случая — системы линейных уравнений,— который и составляет непосредственный предмет изучения. Фактически получается так, что понятие о системе уравнений формируется у учащихся на основе осмысления понятия «решение уравнения» и представления о том, что значит решить уравнение. |