Электромагнитные и механические аналогии.
Таким образом, соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно представить в виде таблицы 1
|
Механические величины |
Электрические величины |
|
Координата х |
Заряд q |
|
Скорость vx=x' |
Сила тока i=q' |
|
Ускорение аx=vx |
Скорость изменения силы тока i' |
|
Масса m |
Индуктивность L |
|
Жесткость k |
Величина, обратная электроемкости. 1/С |
|
Сила F |
Напряжение U |
|
Вязкость b |
Сопротивление R |
|
Потенциальная энергия деформированной пружины kx2/2 |
Энергия электрического поля конденсатора q2/(2C) |
|
Кинетическая энергия mv2/2 |
Энергия магнитного поля катушки Li2/2 |
|
Импульс mv |
Поток магнитной индукции Li |
Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: 
+
, где
, 
, тогда имеем
(1)
Так как
и 
получаем
=const (2)
Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' - мгновенное значение силы тока, qmax - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вывод о зависимости силы тока от величины заряда и находим значение максимальной силы тока:
; 
Откуда
при q=0.
Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.
Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.
или
(3)
Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.
Вычисляя обе производные получаем:
так как 
, тогда
и 