В большинстве случаев схема записи интеграла может быть иной. Поскольку интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, применим следующий порядок действий:

1. Записать производную искомой функции по соответствующему аргументу, например - .

2. Определить функцию, от которой была найдена производная, то есть первообразную .

3. Найти изменение искомой функции при соответствующих значениях аргумента:и , то есть интеграл , после чего сформулировать определение физической величины (см. выше пункт 3).

Преимущества, которые дает знание производной и интеграла для изучения курса физики в 9 – 11 классах, могут быть получены только в результате совместной работы над формированием понятий математического анализа на уроках физики и математики. На рисунке 3.1 приводится схема формирования понятий производная, первообразная и интеграл на уроках физики и математики [13].

Рис 3.1

При решении предлагаемых задач используются определения производной и первообразной, то есть понятий которые вводятся в разделе высшей математики, называемом математическим анализом и изучаемом в школе [15]:

Задача 1.Определите, при каком соотношении между внутренним и внешним сопротивлением электрической цепи полезная мощность имеет максимальное значение.

Решение: полезная мощность, выделяющаяся на резисторе R, по закону Джоуля – ленца равна:

где - сила тока, определяемая по закону Ома для полной цепи. Очевидно, что при (короткое замыкание) и при (цепь разомкнута). Исследуем, при каком соотношении между сопротивлениями r и R полезная мощность максимальна. Итак задача свелась с исследованию функции на экстремум. Вспомним условия экстремума. Построить график зависимости полезной мощности от R:

1. Необходимое условие экстремума: если - точка экстремума дифференцируемой функции на интервале , то (теорема Ферма).

2. Достаточное условие экстремума: если функция непрерывна в точке , в левой полуокружности этой точки имеет положительную производную, а в правой – отрицательную, то - точка максимума функции . Аналогично, если при переходе через точку производная меняет свой знак с «-» на «+», то - точка минимума функции. Вычислим производную:

.

Следовательно, мощность достигает максимума при , так как производная здесь обращается в ноль и при этом меняет знак. Максимум в этой точке является наибольшим значением функции на интересующем нас интервале, так как это единственный экстремум. Возьмем вторую производную:

.

Очевидно, что при имеется точка перегиба. Построим график функции, используя всю полученную информацию:

Рис 3.2

Задача 2: покажем, что действующее (эффективное) значение силы тока в цепи равно .

Решение: действующее значение силы переменного тока - это значение силы такого постоянного тока, при протекании которого в резисторе в течении одного периода выделяется такое же количество теплоты, что и при протекании данного переменного тока. Пусть переменный ток изменяется по синусоидальному закону:

, где - круговая частота, тогда .