В опубликованном после его смерти произведении «Теория параллельных линий»(1786) Ламберт рассматривает четырехугольник. И исследует, как и Саккери, возможные при этом три гипотезы. Он получает ряд новых результатов геометрии, построенной на гипотезе острого угла, то есть будущей неевклидовой геометрии Лобачевского, в том числе и следующий: если сумма углов треугольника АВС, как известно, меньше двух прямых углов, равна 2d - d, то площадь треугольника пропорциональна d (d - «дефект треугольника»). В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат. Не смотря на это, однако, Ламберт, как и его предшественники, не считал гипотезу острого угла действительно возможной. На таких же позициях стоял и знаменитый французский математик А.М. Лежандр (1752- 1833), значительно способствовавший своими многочисленными попытками доказать евклидову аксиому параллельности, привлечению внимания математиков первой половины 19 в. к проблеме V

постулата.

Эта проблема, как известно, была впервые решена профессором Казанского университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию, называемую так же « гиперболической». Независимо от него к тому же открытию пришел и молодой венгерский математик Я. Бояй. Первый печатный труд по неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского « О началах геометрии» - появился в 1829г. в « Казанском вестнике». Через 3 года была опубликована на латинском языке работа по неевклидовой геометрии « Appendix» («Приложение»), название которой объяснялось тем, что она появилась к одной из работ отца Яноша, математика Фаркаша Бояй. После смерти Гаусса выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что V

постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии.

Попытки доказательства V постулата принесли большую пользу в том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бояй назвал «абсолютной» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

В курсе 6 класса важнейшими теоремами абсолютной геометрии являются следующие: теорема о смежных и вертикальных углах, о равенстве треугольников, о внешнем угле треугольника, о прямой и ломанной, о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных, прямая теорема параллельных.

К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника).