Если из т. С вне прямой АВ (рис.3) опустить на нее перпендикуляр СD и построить перпендикуляр СN к CD, то без помощи аксиомы параллельных доказывается, что NN’ || АВ.

Постулат Евклида утверждает, что из всех прямых плоскости АВС, проходящих через т. С, только одна прямая NN’ не встречает прямой АВ. Отказываясь от этой аксиомы, Лобачевский допускает, что через т. С проходит по крайней мере еще одна прямая CL не пересекающая АВ.

Аксиома Лобачевского кажется на первый взгляд странной, т.к. противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса надо признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, отходящим за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах определенной части плоскости, как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество «прямых» (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих «прямой» АВ, например, CL, CM и другие (рис.4).

Таким образом, если отречься от всяких предубеждений, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского “хуже” аксиомы Евклида, в смысле ее соответствия физической реальности. Кажущееся преимущество евклидовой геометрии, евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание соответствует нашим привычным представлениям. Эти представления, однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной части вселенной. Между тем, в истории науки известны факты, когда более точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами, которые лучше соответствуют объективному материальному миру. Ведь господствовало же у древних представление о том, что Земля плоская. В свое время казалась невероятной гелиоцентрическая гипотеза Коперника для всех людей, веками сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея. Известный английский математик так и писал: «Чем Коперник был для Птоломея, тем Лобачевский для Евклида». Между Коперником и Лобачевским любопытная параллель, Коперник и Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти «революции» имеют одно и то же значение.

Причина их грандиозного значения заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса…». По поводу этого сравнения советский ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что «Истины, открытые Лобачевским, были гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения более высокого ранга» Гелиоцентрическая система Коперника только по иному представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система же Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.