Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского (называемой также гиперболической геометрией) было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана (в узком смысле), называемой так же эллиптической геометрией. В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

Итак, плоскость Римана представлена Евклидовой сферой. На сфере нет прямых линий, но имеются так называемые большие окружности (рис.10), то есть окружности с центром в в центре сферы, которые в качестве геодезических ее линий выполняют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшие расстояния между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому, как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которую они проходят, подобно тому, как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому, как две точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг больших окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости можно образовать сферические треугольники, четырехугольники, многоугольники. Одним словом, большие окружности сферы – это ее «прямые» (рис.11). Однако, наряду с некоторыми сходствами, имеется и большое различие между сферической геометрией с одной стороны и геометрией Евклида и Лобачевского с другой. Аксиомы, следовательно, и теоремы, и формулы сферической геометрии во многом отличаются от аксиом, теорем и формул плоской геометрии Евклида, а так же Лобачевского. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину. Сумма углов сферического треугольника, как известно, больше 2d, каждые две прямые имеют одну общую точку, то есть, на римановой плоскости нет параллельных прямых.

В разработку эллиптической геометрии значительный вклад внес Гаусс своими исследованиями о поверхностях.

Сравнивая три, в известном смысле дополняющих друг друга , геометрии: гиперболическую, евклидову (называемую так же параболической) и эллиптическую, следует отметить, что в первой из них через точку вне данной прямой можно провести к этой прямой две параллельные, во второй – одну, а в третей – ни одной. В первой сумма внутренних углов треугольника меньше 2d, во второй равна 2d, а в третей – меньше 2d.

Возникшие из попыток доказательства V постулата неевклидовы геометрии, открытые Лобачевским, Бояй, Гауссом и Риманом и развитые в трудах Бельтрами, Кэли, Клейна, Пуанкаре и других ученых, стали в наши дни необходимым аппаратом для изучения механики, физики и астрономии. Особенно важна геометрия Лобачевского для теории относительности, так как группа важных для теории относительности «преобразований Лоренца» изоморфна группе движений пространства Лобачевского. С другой стороны, открытие неевклидовой геометрии привело к новым исследованиям в области оснований геометрии и, в частности, к аксиоматике Гильберта. Отказываясь от аксиомы Архимеда или от аксиомы Кантора, он получает «неархимедову» соответственно «неканторову» геометрию и т.п.