В 1855г. умирает Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить публично в защиту новой геометрии. В этом же году, Лобачевский, которого постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в борьбе за признание своих идей, довели до потери зрения, диктует последнее свое произведение «Пангеометрия»*. Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным, почти забытым.

Не получил признание при жизни и гениальный венгерский математик Янош Бояй (1802-1860). Его «Appendix», содержащий основы неевклидовой геометрии, изложен исключительно сжато и схематично – вот одна из причин, сделавших это классическое произведение недоступным для его современников.

города Марош-Варигархен. За это время он опубликовал здесь некоторые свои работы, в том числе и теорему о равновеликости и равносоставленности многоугольников, включив ее в важнейший свой труд «Temtamen» («Опыт»), более полное заглавие, гласит в русском переводе: «Опыт введения юных учащихся в начала чистой математики, элементарной и высшей» (1832). В виде приложения именно к этому труду и был опубликован «Appendix» Яноша Бояй.

--------------------------------

*Греческое слово «пан» в сложных словах означает «все», «Пангеометрия» - «Всеобщая геометрия»

После того, как стало известно, что Гаусс считал геометрию Лобачевского логически вполне правильной, «неевклидова геометрия»(названная так именно Гауссом), привлекла к себе внимание многих математиков. Произведения Лобачевского и «Appendix» Бояй были переведены на французский, итальянский и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена. Положение коренным образом изменилось, когда итальянский математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»(1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.8), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.9).Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.