Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более подробно, чтобы определить, что

конкретно требуется от ученика при решении каждого из них.

1. Неопределённые задачи

– задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.

2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?

С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а

.

Получим:

10 + 8 > a

;

a

+ 10 > 8;

a

+ 8 > 10;

а из этой системы следует, что

2 < a

< 18.

Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня.

И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть?

Если в поезде х

цистерн, то платформ х+4

, а вагонов х+8

. Вместе: 3х+12

. Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: 25(3х+12)м, где х

– натуральное число. Над "дизайном" ответа можно поработать, если переписать его так: 75(х+4)

. А теперь, переобозначив буквой х

(или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант ответа: 75х

м, где х

– натуральное число, не меньшее пяти.

Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стапроцентным результатом.

Третья из указанных здесь задач предлагалась девятиклассникам лицея. Результат тот же: "Задача не решается .". Только дополнительная просьба назвать несколько возможных ответов подтолкнула лицеистов к анализу и в конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х

%, где х

Î(50;100].

Вывод

: решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме. В качестве такого примера можно рассматривать задачу: При каких значениях положительного параметра a уравнение

logax

=

ax

будет иметь единственное решение и указать его.

Эта задача была предложена нашей группе (группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997 год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, что помогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания по широкому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.

Вообще, уравнения и другие задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаи неопределённых задач. Проблемность перехода к таким задачам ощущают учителя уже при переходе от уравнений 7х

=12, 0х

=3, –5х

=0, 0х

=0 к линейному уравнению общего вида: ах=

b

.

Предварительная тренировка в решении неопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.