Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается так, как это было сделано выше. Как доказать равенство ЕF и МN? или: Какое свойство средней линии мы знаем?

Ответ: Так как ЕF — средняя линия DАВС, то ЕF равна половине основания АС; MN средняя линия АДС и М равна половине основания АС. Значит ЕF = MN.

Это решение является

более рациональным и коротким.

Теперь надо записать решение задачи. Для этого уже используется синтез.

АЕ = ЕВ ЕF || AC

BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN Þ EFMN – парал–

СМ = МД MN || AC EF = MN лелограмм

ДN = NA MN = 1/2 AC

В классе всегда есть ученики, которые быстро найдут решение этой задачи. Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимся можно дать дополнительные задания:

Какой вид должен иметь исходный четырехугольник, чтобы полученный был

а) прямоугольником?

б) ромбом?

в) квадратом?

В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант в), средним — вариант б), остальным — а).

Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией, мы воспитываем в них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.

Мне хочется привести несколько примеров задач, возникших из рассмотрения шарнирной модели четырехугольника.

Убедившись вместе со школьниками в подвижности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах) учитель побуждает их к выводу, что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно,

Затем перед учащимися формируется сама задача.

Задача 1. Имеется модель шарнирного четырехугольника со сторонами определённой длины. Каким способами можно придать «жёсткость» данной модели четырехугольника, если его вершины не могут быть закреплены? Ответ обосновать.

В ходе обсуждения этой задачи предлагаются различные варианты её решения, которые проверяются опытными путями, например, скрепить две вершины четырехугольника планкой по диагонали, соединить планкой середины двух противоположных сторон и т. д.

Убедившись на опыте в разумности сделанных предложений, учащихся приходят к необходимости обосновать

тот или иней способ «наведения жесткости». С помощью учителя они приходят к возможности провести это обоснование, переформулировать задачу в виде соответствующей задачи на построение. Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру, то её модель будет жёсткой.

Возможность сведения конкретной задачи, определённой на модели, к решению абстрактной геометрической задачи на построение реализует одну из важнейших воспитывающих функций геометрических задач: связь обучения математике с жизнью, т.е. показывает реальное происхождение математических абстракций.

Учитывая «свойство жесткости» треугольника первое из вышеназванных решений обосновывается достаточно просто. Однако обоснование второго пути решения задачи не столь очевидно. Возникает уже чисто геометрическая абстрактная задача.

Задача 2. Построить 4-х угольник АВСД, зная длину его сторон и длину отрезка MN, соединяющего середины сторон АВ и ДС.

Допустим, что искомый 4-х угольник АВСД построен (рис. 3а). Выполним параллельный перенос (ДN) стороны ДА и || перенос (CN) стороны СВ, теперь из точки исходят 3 отрезка А1N, MN, NВ1 известной длины.

Нетрудно показать, что точка М является серединой АВ1. В самом деле, длины отрезков АА1 и ВВ1 равны 1/2ДС, а сами отрезки || ДС.

Поэтому четырехугольник А1АВ1В является параллелограммом. Точка М — середина его диагонали АВ. Поэтому М принадлежит диагонали А1В1 и является ее серединой.