Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х0, где х0 — числовое выражение.

При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

2.

Равносильность и логическое следование.

Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.

Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен. Это и понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных значительных усилий.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.