В соответствии с вышесказанным предлагается к рассмотрению система задач по теме "Сумма углов треугольника" (геометрия, 7 класс). Тема эта не громоздкая, достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными ситуациями.

Для составления требуемой системы задач было выделено 5 основных аспектов данной темы:

· непосредственное использование указанного свойства углов в произвольном треугольнике;

· то же – для равнобедренного треугольника;

· то же – для прямоугольного треугольника;

· то же – для углов, образованных внутри треугольника медианами, биссектрисами, высотами и др.;

· то же – с выходом на внешние углы треугольника.

I.

Применение свойства углов для произвольного треугольника

1. Два угла треугольника равны 26° и 118°. Найти величину третьего угла треугольника.

2. Два угла треугольника равны 118° и 62°. Найти величину третьего угла.

3. Найти углы треугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5.

4. В треугольнике ABC угол A равен 24°, угол C в два раза больше угла B. Найти неизвестные углы треугольника.

5. Найти углы треугольника, если один из его углов равен сумме двух других, а два меньших угла относятся, как 2:3.

6. Найти попарные отношения углов треугольника, если один из них равен 36°, а второй – 84°. (Задача имеет 6 ответов).

7. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, и два угла относятся, как 7:8. Найти углы треугольника ABC.

8. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, и два угла относятся, как 4:7. Найти углы треугольника ABC.

9. В треугольнике ABC угол A равен 30° и углы относятся, как 1:1:4. Найти углы треугольника ABC.

10.В треугольнике ABC угол А равен 30°, и углы относятся как 1:2:6. Найти углы треугольника ABC.

11.В треугольнике АВС угол А равен 70°, и два угла относятся как 5:6. Найти углы треугольника АВС.

Первая задача традиционна для этой темы. Но вторая уже заставляет задуматься о возможных границах ответов в таких задачах.

Шестая задача выводит на необходимость вариативных рассуждений, о чём подсказка в скобках, тем самым готовит учащихся к вариативным рассуждениям в следующей задаче. Для решения задачи 7 ученик должен сначала задуматься об отношении каких именно углов идёт речь? Некоторые из этих вариантов будут отброшены как противоречивые, но не сразу, а после необходимых вычислений. Для ответа останется один из них. В задаче же 8 ни один из рассмотренных вариантов не выведет на ответ. Аналогичные рассуждения понадобятся и при решении задач 8–11.

II.

Применение свойства углов для равнобедренного треугольника

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 28°.

2. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании равен 28°.

3. Может ли равнобедренный треугольник иметь углы величиной 55° и 70 °? 24° и 62°?

4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 100°.

5. Найти углы равнобедренного треугольника, если два его угла соответственно равны: а) 55° и 70°; б) 40° и 110°; в) 20° и 20°; г) 60° и 60°.

6. Может ли биссектриса, медиана или высота треугольника разбивать его на два равносторонних треугольника?

7. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого высота, проведённая к основанию, разбивает его на 2 треугольника так, что соотношение острых углов каждого из полученных треугольников равно 1:2.

8. Доказать, что равнобедренный треугольник с углом 60° является равносторонним.

9. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника , если биссектриса одного из углов разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

10.Доказать, что если любые две биссектрисы треугольника, пересекаясь, образуют со сторонами равнобедренные треугольники, то данный треугольник равносторонний.

11.Доказать, что отрезки высот равностороннего треугольника образуют со сторонами этого треугольника 3 равнобедренных треугольника.

Последние две задачи этого раздела – привычные задачи школьного учебника. Но решать такие задачи ученики не любят именно потому, что здесь требуется выполнить перебор всех возможных вариантов, к чему они не очень хорошо подготовлены. Поэтому предыдущие задачи в большей своей части и содержат необходимость выполнения перебора вариантов, что, как нам представляется, и должно подготовить учащихся к решению двух последних задач.

III.

Применение свойства углов для прямоугольного треугольника

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 73°. Найти другой его острый угол.