Однако в некоторых ситуациях трудно бывает или невозможно вовсе выполнить непосредственное разностное сравнение и сразу обнаружить, например, равенство или неравенство наличных вели­чин (отрезков, грузов и т. д.). Учитель демонстрирует первоклассни­кам подобные ситуации и просит их осуществить поиск подходя­щего способа решения данной задачи. Дети выдвигают разные ги­потезы и с помощью учителя приходят к выводу о том, что во всех таких ситуациях нужно выполнять опосредствованное сравнение. Но что это такое? С помощью каких средств его можно выполнить? Как оперировать с этими средствами и к каким результатам это приводит? Учитель первоначально подводит самих детей к поста­новке этих вопросов, а затем ставит перед ними учебную задачу, требующую открытия и усвоения ими общего способа опосред­ствованного разностного сравнения величин, опирающегося на их предварительное краткое сравнение с помощью числа.

Учебные действия, позволяющие решить данную задачу, направ­лены на поиск, обнаружение и изучение детьми свойств, характе­ризующих кратное отношение величин, фиксация которого в модели как раз и обозначает число (в принципе — действительное число, хотя отдельные виды чисел предполагают наличие особых условий реализации кратного отношения и построения его модели).

При выполнении первого учебного действия дети осуществля­ют такое предметное преобразование величин, когда в них обна­руживается кратность отношения. При этом ребенок находит не­которую третью величину (мерку), с помощью которой можно ус­тановить кратность двух исходных величин, требующих разностно­го сравнения. Например, величины А и В не могут быть сравнены непосредственно (так, отрезки не могут быть непосредственно нало-

жены друг на друга). Условия задачи преобразуются ребенком так, что он находит некоторую величину с, применение которой позво­ляет ему определить, сколько раз эта величина «укладывается» в исходных величинах А и В. Поиск того, сколько раз величина с «укладывается» в величинах А к В, позволяет ребенку определить их кратное отношение, которое можно записать с помощью такой

А В формулы: у и — (черта между буквами обозначает кратность).

Вторре_у_чебное_действие_ связано с моделированием процесса выделения кратного отношения и его результата. В данном слу­чае это моделирование осуществляется при единстве предметной графической и буквенной форм. Так, первоначально кратное отно­шение может быть выражено с помощью предметных или графи­ческих палочек («меток»), указывающих результат как отдельного «наложения» мерки, так и всех подобных «наложений» (сколько раз данная мерка содержится в величине через их кратное отношение). Затем этот результат может быть выражен в словесной форме — в форме числительных («один, два, три . раза»). Тогда формулы кратного отношения и опосредствованного разностного отношения приобретают следующий вид:

— = 4; —=5; 4<5; А<В.с с

В общем виде эти формулы могут быть записаны так:

Л „ В

—=К; —=м- к<м- /кв.

С. С

Таким образом, буквенная модель процесса и результата выде­ления кратного отношения в общем виде выглядит так: — = м Бла­годаря этой общей формуле модели дети могут выделять и фиксиро­вать любое частное кратное отношение величин, выражаемое в соот­ветствующем конкретном числе (например, при данных Лис отно­шение изображается числом 5). По соотношению самих этих чисел (т. е. по свойствам числа как модели кратного отношения) можно опосредствованным путем решить исходную задачу разностного сравнения.

Третье учебное действие состоит в таком преобразовании самой модели выделенного отношения, которое позволяет изучать его об­щие свойства. Так, изменение мерки с при той же исходной величи­не А приводит к изменению конкретного числа, изображающего их

й<с, то —

отношение. Поэтому, например если — =

••; Усвоение детьми содержания и следствии этого учебного дей-

•отвия имеет первостепенное значение при их знакомстве с миром чисел и является характерной чертой решения именно учебной за­дачи, когда некоторые общие свойства чисел изучаются детьми до ознакомления с многообразием их частных проявлений.

Четвертое учебное действие направлено на конкретизацию об­щего способа выявления кратного отношения и на решение част-