Теоретический материал электронного учебника
так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z
.
|
|
Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию. |
Поэтому Z
=N
È {0, -1, -2, .} или Z
={ .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .}, т.е. множество целых чисел Z
содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.
Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.
Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.
О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.
О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: 
, где p1, p2, ., pk – простые числа, а 
- натуральные числа. Разложение называется каноническим.
|
|
Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна. |
.
О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а1, а2, ., аn называется целое число d, такое, что a1 : d, а2 : d, ., аn : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, ., аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, ., аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
|
|
Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей. |
Обозначается: d = (а1, а2, ., аn).
Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.
П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:
1173 = 323´3 + 204;
323=204´1+119;
204=119´1+85;
119=85´1+34;
85=34´2+17;
34=17´2;
так что (1173, 323) = 17.
О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а1, а2, ., аn, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
|
|
Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных. |
Обозначают: m=[ а1, а2, ., аn].
Пусть а и b целые числа, тогда 
П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.
Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] = 
3.
Множество рациональных чисел. Система действительных чисел
Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z
так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q
, т.е. Q
={r | r=
, m, n Î Z, n¹0}. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.
|
|
Десятичная дробь |
называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются.