Теоретический материал электронного учебника
Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.
К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 
и 
представляются следующими десятичными дробями: = 0,75; = 0,333 . = 0,(3).
Иррациональные числа 
и p представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1,414 .; p = 3,14159
|
|
Непериодическими бесконечными дробями также являются: 0,101001000100001 ., |
и другие. Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R
. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.
|
|
Имеется в виду что каждой точке на прямой соответствует число из множества R , и наоборот, каждому числу из множества R соответствует точка на прямой. |
4.
Система комплексных чисел
Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида х2 + 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.
О п р е д е л е н и е. Множество чисел вида а + bi, а, b Î R
, i2 = -1, называется системой комплексных чисел С
.
|
|
Подчеркнем, что в отличие от множества действительных чисел (R ), множество комплексных чисел (С ) с операциями определенными на нем не обладает свойством упорядоченности, так как имеется элемент |
, в частности, нельзя определить понятие быть положительным. а - действительная часть комплексного числа, bi - мнимая часть комплексного числа, i = 
- мнимая единица, b - коэффициент при мнимой единице. Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа z1 = а1 + b1i и z2 = а2 + b2i называются равными, если а1 = a2, и b1 = b2, в этом случае пишут: z1 = z2.
Число 
= а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i и z = 2 - i; z = -5 - i и z = -5 + i, z = i и z = -i будут взаимно сопряженными.
Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пусть z1= а1+b1i z2= а2+b2i. Тогда: 
; 
;
. Таким образом, видим, что если z= a+bi и =a-bi, то z= a2+b2.
П р и м е р ы. Выполнить действия:
1. (2 + 3i) + (8 - 5i) = 10 - 2i.